تفاضل الدوال المثلثية

تفاضل الدوال المثلثية هو العملية الحسابية لإيجاد مشتق دالة مثلثية، أو معدل تغيرها بالنسبة لمتغير. على سبيل المثال، يكتب مشتق دالة الجيب على هذا الشكل sin′(a) = cos (a)، وهذا يعني أن معدل تغير sin (x) عند زاوية معينة x = a يُعطى بجيب تمام تلك الزاوية.

دالة مشتقها

يمكن إيجاد جميع مشتقات الدوال المثلثية من تلك الخاصة بـ sin (x) و cos (x) عن طريق قاعدة ناتج القسمة المطبقة على الدوال مثل tan (x) = sin (x) / cos (x). بمعرفة هذه المشتقات، يتم ايجاد مشتقات الدوال المثلثية العكسية باستخدام التفاضل الضمني.

مشتقات الدوال المثلثية ودوالها العكسية

إثبات مشتقات الدوال المثلثية العكسية

يتم إيجاد المشتقات التالية عن طريق وضع متغير y يساوي الدالة المثلثية العكسية التي نرغب في إيجاد مشتقها. باستخدام التفاضل الضمني ثم الحل لـ dy/dx، يتم إيجاد مشتق الدالة العكسية بدلالة y. لتحويل dy/dx مرة أخرى إلى كونها بدلالة x، يمكننا رسم مثلث مرجعي على دائرة الوحدة، نعتبر θ هي y. باستخدام مبرهنة فيثاغورس وتعريف الدوال المثلثية العادية، يمكننا في النهاية التعبير عن dy/dx بدلالة x.

اشتقاق دالة الجيب العكسية

نعتبر الدالة

حيث

بالتعريف

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ وحل لـ dy/dx:

نعوض بـ :

نعوض بـ :

اشتقاق دالة جيب التمام العكسية

نعتبر الدالة

حيث

بالتعريف

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ وحل لـ dy/dx:

نعوض بـ :

نعوض بـ :

اشتقاق دالة الظل العكسية

نعتبر الدالة

حيث

بالتعريف

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ وحل لـ dy/dx:

الطرف الأيسر:

باستخدام متطابقة فيثاغورس

الطرف الأيمن:

ومنه:

نعوض بـ ، نحصل على:

اشتقاق دالة ظل التمام العكسية

نعتبر الدالة

حيث .

بالتعريف

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ وحل لـ dy/dx:

الطرف الأيسر:

باستخدام متطابقة فيثاغورس

الطرف الأيمن:

ومنه،

نعوض بـ :

باستخدام التفاضل الضمني

نعتبر الدالة:

بالتعريف

(القيمة المطلقة في التعبير ضرورية حيث أن جداء القاطع والظل في مجال y يكون دائمًا غير سالب، بينما العبارة دائمًا غير سالبة بتعريف الجذر التربيعي الرئيسي، لذلك يجب أن يكون العامل المتبقي غير سالب، والذي يتحقق باستخدام القيمة المطلقة لـ x.)

باستخدام قاعدة السلسلة

بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق دالة القاطع العكسية من مشتق دالة جيب التمام العكسية باستخدام قاعدة السلسلة.

لتكن

حيث

و

وبعد ذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على :

باستخدام التفاضل الضمني

لتكن

بالتعريف:

(القيمة المطلقة في التعبير ضرورية حيث أن جداء قاطع التمام وظل التمام في مجال y يكون دائمًا غير سالب، بينما العبارة دائمًا غير سالبة بتعريف الجذر التربيعي الرئيسي، لذلك يجب أن يكون العامل المتبقي غير سالب، والذي يتحقق باستخدام القيمة المطلقة لـ x.)

باستخدام قاعدة السلسلة

بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق دالة قاطع التمام العكسية من مشتق دالة الجيب العكسية باستخدام قاعدة السلسلة.

لتكن

حيث

و

وبعد ذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على :

انظر أيضًا

هوامش وملاحظات

  1. تسمى أيضًا "قاعدة مشتق الدالة المركبة"

    مصادر

    • Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)
    • بوابة رياضيات
    • بوابة تحليل رياضي
    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.