قاعدة لوبيتال

في التحليل الرياضي، قاعدة لوبيتال (بالإنجليزية: L'Hôpital's rule)‏ تستعمل الاشتقاق بهدف إيجاد النهايات لصيغ غير محددة.[2][3][4] تحمل هذه القاعدة اسم الرياضي الفرنسي غييوم دي لوبيتال.

قاعدة لوبيتال
النوع مبرهنة  
الصيغة  
المجال حالة عدم تعيين نهاية  
سميت بأسم غييوم دي لوبيتال  
صاحبها يوهان بيرنولي [1] 

نبذة تاريخية

نشر غييوم دي لوبيتال هذه القاعدة في كتابه الذي صدر عام 1696 Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (حرفيًًّا: تحليل اللامتناهيات في الصغر لفهم الخطوط المنحنية)، أول كتاب مدرسي حول حساب التفاضل.[5] ومع ذلك، يُعتقد أن القاعدة اكتشفها عالم الرياضيات السويسري يوهان بيرنولي.[6][7]

مبدأ نظرية اوبيتال

ليكن عددا حقيقيا أو حتى ، حيث تكون الدوال الحقيقية و معرّفة بقرب و مخالفة للصفر. لو حاولنا أن نحدد نهاية الكسر في a، حيث يقترب كل من البسط والمقام، كلاهما نحو الصفر أو كلاهما نحو اللانهاية، فإننا نستطيع أن نشتقهما ونحدد نهاية كسر المشتقات. ولو كانت موجودة، فإن القاعدة تؤكد أن هذه النهاية ستكون مساوية للنهاية التي نبحث عنها.

نص قواعد أوبيتال

النص المبسط : في كتاب أوبيتال، القاعدة الموجودة هي تلك المستعملة عادة في حالة دالتين قابلتين للاشتقاق في a وحيث يكون الكسر معرّفا :

لو كان "f" و"g" دالتين قابلتين للاشتقاق في "a"، ومساويتين للصفر في a وحيث يكون الكسر معرّفا، فإن

.

و لكن، يمكن استعمال قاعدة أوبيتال في حالات أعمّ.

التعميم الأول

على دوال، حيث غير موجود بالضرورة.

لو كان f وg دالتين قابلتان للاشتقاق على النطاق ]a ; b[ وحيث نهايتهما في a، وإذا كانت g'(x) لا تساوي صفرا على ]a ; b[ وإذا كان فإن .

هذه النتيجة صالحة مهما كانت النهاية L حقيقية أو لانهائية.

التعميم الثاني على دوال تكون نهاياتها في a لانهائية.

لو كان f وg دالتين قابلتان للاشتقاق على [a ; b] ونهايتهما في a لا نهائية، ولو كانت المشتقة g'(x) مخالفة للصفر على [a ; b] ولو كانت فإن .

هذه النتيجة صالحة سواء أكانت L نهاية حقيقية أو لا نهائية.

نفس القواعد موجودة لدوال معرّّفة على [b ; a]

تبقى المبرهنات صالحة عند تعويض a بـ .

الاستعمالات

في حالة «  »، عادة ما نستعمل الصيغة الأولى :

في حالة « ∞/∞ »، نستعمل الصيغة الثانية :

أحيانا، يجب استعمال قاعدة أوبيتال مرات عديدة للوصول إلى النتيجة :

و قد يمكن إيجاد بعض النهايات، التي لا تظهر في شكل نهايات كسور، باستعمال هذه القاعدة :

نلاحظ أن الصيغ المعممة لا تعطينا إلا شروطا كافية لوجود النهاية. وبالتالي توجد حالات تكون فيها نهاية كسر المشتقات غير موجودة، في حين أن نهاية كسر الدوال

موجودة :

في حين أن :

ليس لها نهاية في الصفر.

في النهاية، سنعتني بالتأكد من أن g'(x) مخالفة للصفر بقرب a، بمعنى آخر أن g لا تتذبذب كثيرا حول نهاياتها، وإلا فإن القاعدة لا يمكن تطبيقها. على سبيل المثال، إذا كان :

و، فإن
و

و بالتالي

و لكن

لا تملك نهاية في لأن تتذبذب بين 1/e وe.

مراجع

  1. http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html
  2. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). A History of Mathematics (الطبعة 3rd illustrated). John Wiley & Sons. صفحة 321. ISBN 978-0-470-63056-3. مؤرشف من الأصل في 15 ديسمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  3. Stolz, Otto. "Ueber die Grenzwerthe der Quotienten". Mathematische Annalen (باللغة الألمانية). 15: 556–559. مؤرشف من الأصل في 12 ديسمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  4. pages 145–146: "Proposition I. Problême. Soit une ligne courbe AMD (AP = x, PM = y, AB = a [see Figure 130] ) telle que la valeur de l’appliquée y soit exprimée par une fraction, dont le numérateur & le dénominateur deviennent chacun zero lorsque x = a, c’est à dire lorsque le point P tombe sur le point donné B. On demande quelle doit être alors la valeur de l’appliquée BD. [Solution: ]...si l’on prend la difference du numérateur, & qu’on la divise par la difference du denominateur, apres avoir fait x = a = Ab ou AB, l’on aura la valeur cherchée de l’appliquée bd ou BD." Translation : "Let there be a curve AMD (where AP = X, PM = y, AB = a) such that the value of the ordinate y is expressed by a fraction whose numerator and denominator each become zero when x = a; that is, when the point P falls on the given point B. One asks what shall then be the value of the ordinate BD. [Solution: ]... if one takes the differential of the numerator and if one divides it by the differential of the denominator, after having set x = a = Ab or AB, one will have the value [that was] sought of the ordinate bd or BD." نسخة محفوظة 07 يناير 2018 على موقع واي باك مشين.
  5. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "De L'Hopital biography". The MacTutor History of Mathematics archive. Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. مؤرشف من الأصل في 28 أكتوبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 21 ديسمبر 2008. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  6. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). A History of Mathematics (الطبعة 3rd illustrated). John Wiley & Sons. صفحة 321. ISBN 978-0-470-63056-3. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة) Extract of page 321
  7. إيريك ويستاين، L'Hospital's Rule، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).
    • بوابة رياضيات
    • بوابة تحليل رياضي
    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.