قانون جيب التمام

قانون جيب التمام أو قانون التجيب أو مبرهنة الكاشي هي مبرهنة في هندسة المثلثات[ملاحظة 1] تربط ضلع أي مثلث بضلعيه الآخرين وجيب تمام الزاوية المحصورة بينهما. ينص قانون جيب التمام على أنه في أي مثلث أطوال أضلاعه a, b, c المقابلة للزوايا α, β, γ فإنَّ:[1]

في المثلث ABC الزوايا α, β, γ هي المقابلة على الترتيب للأضلاع a, b, c.

.

قانون جيب التمام يُعمم نظرية فيثاغورس لأي مثلث بأي زوايا. بوضع نجد أنَّ ومنها نظرية فيثاغورس .

التسمية

سُميت بهذا الاسم نسبة إلى العالم غياث الدين الكاشي. قد تكون هذه المبرهنة نشرت في كتاب كتبه الكاشي عام 1424 م.

التاريخ

شكل. 2 - مثلث ABC مع ارتفاع BH

في كتاب العناصر لإقليدس، نجد مقاربة هندسية لتعميم مبرهنة فيثاغورس: نجد في الكتاب2 العبارتين 12 و13, حيث يتم التطرق لحالة مثلث عادي بزاوية منفرجة وفي مثلث عادي بزوايا حادة. لكن عدم وجود الدوال المثلثية (آنذاك) وكذلك الجبر أدى إلى استعمال المساحات.

فالعبارة 12 :

«في المثلث المنفرج الزاوية يكون مساحة المربع المنشأ على الضلع المقابل للزاوية المنفرجة مساوياً لمجموع مساحتي المربعين المنشأين على الضلعين الآخرين مضافاً إلى هذا المجموع ضعف مساحة المستطيل الذي بعداه طول أحد هذين الضلعين وطول مسقط الضلع الآخر عليه.»

وفي الشكل المقابل المثلث ABC مثلث منفرج الزاوية في C والقطعة المستقيمة CH هي مسقط الضلع BC على الضلع AC (انظر شكل2) وبالتالي وطبقاً للنظرية يكون

و كان يجب أنتظار العرب المسلمين لتظهر الدوال المثلثية لرؤية المبرهنة في تطورها: فالفلكي والرياضي البتاني عمم نتيجة إقليدس في الهندسة الفضائية والتي مكنت من القيام بحساب المسافات بين النجوم. وفي نفس الوقت تم إنشاء جداول للدوال المثلثية والتي أتاحت للعالم غياث الدين الكاشي صياغة المبرهنة في شكلها النهائي.

تطبيقات

مبرهنة الكاشي في تعميم لمبرهنة فيتاغورس، عندما تكون الزاوية : قائمة، أو عندما يكون: ، المبرهنة تصبح:, و عكسيا.

شكل. 3 - تطبيق المبرهنة :الكاشي زاوية أو ضلع مجهول.

النظرية تستعمل في المثلثات(انظر شكل. 3)حل مثلث، أي تحديد:

  • الضلع الثالث لمثلث نعرف فيه زاوية والضلعين المكونين لها:
;
  • زوايا مثلث نعرف فيه الأضلاع:
.

انظر أيضًا

ملاحظات

  1. هي أيضاً تعميم لمبرهنة فيثاغورس على أي زاوية من زوايا المثلث (ليست بالضرورة قائمة).

    مراجع

    1. Java applet version by Prof. D E Joyce of Clark University. نسخة محفوظة 05 أغسطس 2017 على موقع واي باك مشين.
      • بوابة رياضيات
      • بوابة هندسة رياضية
      • بوابة العالم الإسلامي
      This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.