نظام عد

نظام العد (بالإنجليزية: Numeral system)‏ هو طريقة عرض الأعداد برسوم محددة والتعامل معها للتعبير عن قيمتها وكيفية تطبيق العمليات الحسابية عليها. وتستخدم أنظمة عد مختلفة لعرض الأعداد. فمثلاً العددين 16(2A) و 8(52) يعنيان نفس القيمة 10(42) ولكن بطريقة عرض مختلفة. طريقة عرض الأعداد بأنظمة مختلفة هو نفس طريقة عرض الكلمات في اللغات المختلفة فمثلاً الكلمة cheval (كلمة فرنسية) والكلمة equus (كلمة لاتينية) والكلمة horse (كلمة إنجليزية) لهم نفس المعنى "حصان".

مثلما نستخدم الرسوم (الحروف) لإنشاء الكلمات في اللغة، كذلك نستخدم الرسوم (الأرقام) لعرض الأعداد. وكما نعلم فإن عدد الحروف في أي لغة محدد لذا نعيد تكرارها لإنشاء كلمات جديدة ومتعددة. نفس الشيء مع الأرقام فعددها محدود (على سبيل المثال، في النظام العشري هناك 10 أرقام فقط، وفي الثنائي عددين فقط) مما يحتم علينا تكرارها لإنشاء الأعداد. تعرف أنظمة العد التي تستخدم هذه الطريقة بالأنظمة الموضعية وتمثل نتاج التطور البشري على مدى العصور المختلفة، هذا النوع من الأنظمة العددية يستخدم موضع (مكان) الرقم (الرمز أو الرسم) لتحديد "قيمة" الرمز في العدد، حيث تستخدم الدالة العامة التالية لتوضيح طريقة عرض أي عدد باستخدام رموز النظام العددي الموضعي :

n = ± Sk-1 × bk-1 + Sk-2 × bk-2 +...+ S1 × b1 + S0 × b0 + S-1 × b−1 + S-2 × b−2 + ... + S-L × b-L

حيث أن الرمز (n) يمثل عدد ما. والرمز (±) يمثل إشارة العدد (n) (سالبة أو موجبة). والرمز (S) يمثل "أحد" رموز النظام العددي. والرمز (b) يشير لأساس النظام العددي (عشري أو ثنائي أو...)، بينما يشيران (k) أسفل الرمز (S)، و(L) أس الرمز (b) إلى الترتيب المكاني للرمز.

يجب الإشارة هنا لمجموعة من الملاحظات على الدالة السابقة نسردها فيما يلي:

إذا افترضنا أن العدد (1234.5678)10 هو عدد من النظام العشري (وهو أكثر الأنظمة تداولاً في واقعنا) نجد أنه يملك خصائص الدالة السابقة ونتطرق لها فيما يلي :

1- الرمز (b) يعتبر عدداً هاماً لتحديد نوع النظام العددي حيث أن كل نظام يملك أساس (Base أو radix) خاص به وهذا العدد يساوي عدد الرموز المستخدمة في نظام محدد. في مثالاً العددي قيمة (b) هي "10" لأن عدد الرموز المستخدمة في النظام العشري عددها عشرة رموز (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9).

2- القيمة الموضعية للرمز (S) أو (b) إما أن تكون سالبة أو موجبة حيث أن القيمة الموجبة(k) هي إشارة إلى أن الرمز ينتمي إلى عدد صحيح، والقيمة السالبة (L) إشارة إلى أن الرمز ينتمي إلى عدد كسري. لذا فإن الرمز ذو القيمة الموجبة يكون يمين الفاصلة (. أو ,) والرمز ذو القيمة السالبة يكون يسار الفاصلة.

3- لتمييز العدد الصحيح من العدد الكسري في الحياة اليومية فإنه يفصل بينهما بفاصلة (. أو ,) لتسهيل عملية قراءة العدد.

4- من الدالة السابقة نلاحظ أن القيمة الموضعية لأول رمز من اليمين في " الجزء الصحيح " من العدد (في المثال الرمز 4) هي صفر، بينما القيمة الموضعية لآخر رمز من "الجزء الصحيح" من العدد (في المثال الرمز 1) هي (k-1) حيث k هو عدد المواضع التي كتب عليها الجزء الصحيح من العدد (عدد المواضع للجزء الصحيح في المثال (4) مواضع).

5- من الدالة السابقة نلاحظ أن القيمة الموضعية لأول رمز من اليسار في "الجزء الكسري" من العدد (في المثال الرمز 5) هي (-1)، بينما القيمة الموضعية للآخر رمز من "الجزء الكسري" من العدد (في المثال الرمز 8) هي (L-) حيث L هو عدد المواضع التي كتب عليها الجزء الكسري من العدد (عدد المواضع للجزء الكسري في المثال (4) مواضع).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.