لوغاريتم

في الرياضيات، الأَسِيْس أو اللوغاريتم (بالإنجليزية: logarithm)‏ هي الدالة العكسية للدوال الأسية ويُعرَّف لوغاريتم عدد ما بالنسبة لأساس ما، بأنه الأس المرفوع على الأساس والذي سينتج ذلك العدد. فعلى سبيل المثال فلوغاريتم 1000 بالنسبة للأساس 10 هو 3 لأن 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³. وعموما، يمكن القول أنه إذا كان x = b^y فإن لوغاريتم x بالنسبة للأساس b هو y يعبر عن ذلك رياضياً بالعلاقة:

log_b x=y

لوغاريتم
تمثيل اللوغاريتمات، فاللون الأحمر ذو الأساس (e)، واللون الاخضر ذو الأساس 2، واللون الأزرق ذو الأساس 1/2، نلاحظ أن جميع المنحنيات قطعت النقطة x = 1.
ترميز	${\displaystyle \log _{a}(x)}$
دالة عكسية	${\displaystyle a^{x}(x)}$
مشتق الدالة	${\displaystyle {\frac {1}{x\ln(a)}}}$
مشتق عكسي (تكامل)	${\displaystyle {\frac {x\ln(x)-x}{\ln a}}+C}$ أو:${\displaystyle x\log _{a}{x}-x\log _{a}{e}+C}$
الميزات الأساسية
مجال الدالة	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$
المجال المقابل	${\displaystyle \mathbb {R} }$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	على اليمين: ${\displaystyle -\infty }$ إذا كان ${\displaystyle a>1}$ ${\displaystyle +\infty }$ إذا كان ${\displaystyle a<1}$
نهاية الدالة عند +∞	${\displaystyle +\infty }$ إذا كان ${\displaystyle a>1}$ ${\displaystyle -\infty }$ إذا كان ${\displaystyle a<1}$
القيمة/النهاية عند 1	0
القيمة/النهاية عند ${\displaystyle a}$	1
خطوط مقاربة	${\displaystyle x=0}$
جذور الدالة	1

وبالرجوع إلى المثال يصبح:

log₁₀(1000) = 3.

يعرف اللوغاريتم العشري بأنه لوغاريتم عدد ما بالنسبة للأساس 10 والذي يستخدم بشكل كبير في حساب التطبيقات العلمية والهندسية. الأسس أو اللوغاريتم هي العملية العكسية للدوال الأسية ويُعرَّف اللوغاريتم الطبيعي بأنه لوغاريتم عدد بالنسبة لأساس هو العدد النيبيري (e) والذي له تطبيقات كثيرة في الحسابات الهندسية والعلمية وفي الرياضيات البحتة وخاصة في التفاضل والتكامل. في حين يعرف اللوغاريتم الثنائي لعدد ما بأنه لوغاريتمه بالنسبة للأساس 2 ويستخدم بشكل كبير في علم الحاسوب والدارات المنطقية.

كان اللوغارتم معروفا لدى العرب نسبة إلى العالم الخوارزمي^{[بحاجة لمصدر]}، ولقد أدخل مفهوم اللوغاريتمات إلى الرياضيات في أوائل القرن السابع عشر على يد العالم جون نابير وسيلةً لتبسيط الحسابات، ليعتمد عليها بعد ذلك الملاحون والعلماء والمهندسون والفلكيون وغيرهم لإنجاز حساباتهم بسهولة أكبر، مستخدمين المساطر الحاسبة والجداول اللوغاريتمية. وتعود كلمة اللوغارتم إلى العالم العربي الخوارزمي^{[بحاجة لمصدر]} حيث يرد أسمه في اللغة الإنجليزية بكلمة Algorism وalgorithm واللتان تنبعان من كلمة Algoritmi، الشكل اللاتيني لاسمه الخوارزمي. كما استفادوا من خواص اللوغاريتمات باستبدال عمليات الضرب لإيجاد لوغاريتم جداء عددين بخاصية الجمع وفق الخاصية:

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).\,}$

قام ليونهارت أويلر في القرن الثامن عشر بربط مفهوم اللوغاريتمات بمفهوم التابع الأسي ليتوسع مفهوم اللوغاريتمات ويرتبط بالتوابع.

كما يستفاد من المقياس اللوغاريتمي من التقليل من التمثيل البياني لمجالات واسعة من الكميات إلى مقياس أصغر. فعلى سبيل المثال الديسيبل هو وحدة لوغاريتمية لقياس ضغظ الصوت ونسبة الفولط. كما يستخدم الأس الهيدروجيني (وهو مقياس لوغاريتمي) في الكيمياء لتحديد حمضية محلول ما وذلك من خلال العلاقة التالية:

${\displaystyle {\rm {{pH}=-\log {\rm {[H_{3}O^{+}]}}}}}$